Factorizacion

Factorización


En algebra, la factorización es la descomposición de un objeto o numero(por ejemplo, un número, una matriz o un polinomio) en el producto de otros objetos más pequeños (factores), que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza en el binomio conjugado (a - b)(a + b).
La Factorización se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes. Factorizar enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y factorizar polinomios en el teorema fundamental del álgebra.
Contenido


1 Factorizar un polinomio
1.1 Caso I - Factor común
1.1.1 Factor común monomio
1.1.2 Factor común polinomio
1.2 Caso II - Factor común por agrupación de términos
1.3 Caso III - Trinomio cuadrado perfecto
1.4 Caso IV - Diferencia de cuadrados
1.5 Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
1.6 Caso VI - Trinomio de la forma aX2 + bX + c



Factorizar un polinomio
Antes que nada, hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos sí se puede. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
Binomios
Diferencia de Cuadrados
Suma o Diferencia de Cubos
Suma o Diferencia de Potencias impares Iguales
Trinomios
Trinomio Cuadrado Perfecto
Polinomios
Factor Común

Caso I - Factor común
Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor común monomio
Factor común por agrupación de términos



Factor común polinomio
Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente) para luego operar; ejemplo:

Veamos el siguiente ejemplo: 5x2(x -y) + 3x(x -y) +7(x -y)
Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x -y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir: (5x2 + 3x +7)
Finalmente la respuesta será: (x -y)(5x2 + 3x +7)
En algunos casos debemos "jugar" con el numero 1, por ejemplo en: 5a2(3a +b) +3a +b Que yo puedo escribirlo como: 5a2(3a +b) +1(3a +b)
Entonces la respuesta seria: (3a +b) (5a2 +1)

Caso II -
Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:




Caso III -
Trinomio cuadrado perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. Ejemplo:




Organizando los términos tenemos

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:


Caso IV -
Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno negativo y otro positivo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. Ejemplo:


Caso V -
Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV. para moldar debe de saber el coseno de la raíz de la suma de dos polinomios x que multiplicado salga igual a la raíz de 2.
xª+2xy+yª-1=(x+y)ª-1=(x+y+1)(x+y-1)

Caso VI - Trinomio de la forma aX2 + bX + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis,en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados o restados den como resultado el término del medio. Ejemplo:


.

Trinomio cuadrado de la forma

Trinomio cuadrado de la forma Debe cumplir con las siguientes características:
Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).
El primer término debe ser positivo, tener un coeficiente a diferente de 1 y la parte literal debe tener raíz cuadrada exacta.
La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raiz cuadrada del término número uno.
Cumpliendo con todas las características anteriores se procede a factorizar transformando el trinomio dado en uno de la forma

de la siguiente forma:

luego se procede a multiplicar y dividir por la variable que acompaña al primer término (esto con el fin de no alterar el ejercicio) de la siguiente forma:

y se opera, dando como resultado:

Cubo perfecto de Binomios

Cubo perfecto de Binomios Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

y

es decir que debe cumplir con las siguientes caracterìsticas:
Debe tener cuatro términos.
Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos
Que el segundo término sea aproximadamente el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.
Que el tercer término sea más que el triplo de la raíz cúbica del último . Raíz cúbica de un monomio:esta se obtiene tomando la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3. Factorar un expresión que es el cubo de un binomio:

Suma o Diferencia de Cubos perfectos

Suma o Diferencia de Cubos perfectos Para esto debemos recordar que:

y

Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:
La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La suma de sus raíces cúbicas 2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus raíces cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Debemos tener en cuenta una pequeña recapitulacion de:
es divisible por siendo n un número par o impar
es divisible por siendo n impar
es divisible por siendo n par
nunca es divisible por
Ejemplo:
se divide por
y tenemos:
y obtenemos como respuesta:

CASOS PARA POLIMONIOS

Agrupación de términos:Aquí se intenta agrupar los diferentes términos de una expresión para factorizar utilizando los diferentes métodos vistos. Para utilizar este método se debe tener en cuenta que la expresión debe tener un número de términos que al agruparlos deben quedar todos con la misma cantidad de términos. Ejemplo:
Resolviendolo nos queda: